Liste des théorèmes à connaître (et à savoir démontrer) en Sup.
- Nayel Bettache
- 10 janv. 2024
- 1 min de lecture
Dans cet article je vous propose un précieux guide qui deviendra votre allié tout au long de vos deux années en classe préparatoire aux grandes écoles (CPGE). Cette liste de théorèmes incontournables constitue une ressource inestimable.
Il est important de noter que cette liste, bien que complète, n'a pas pour prétention d'être exhaustive. Ainsi, cette compilation ne se veut pas figée, mais plutôt dynamique, susceptible de s'enrichir au fil des semaines à venir, en fonction de vos retours et de mon expérience d'enseignant.
Chaque théorème présent dans cette liste a été soigneusement sélectionné pour sa pertinence dans le programme. La démonstration de ces théorèmes représente un exercice fondamental dans le développement de votre compréhension. Ces démonstrations sont à considérer comme des exercices classiques. Cette liste est à destination des étudiants en filière MPSI et PCSI. Certains théorèmes listés ne sont pas au programme de la filière PCSI mais peuvent constituer un hors-programme utile pour les meilleurs étudiants de cette filière.
N'hésitez pas à explorer cette liste, à l'étudier avec attention, et à revenir régulièrement pour découvrir de nouvelles additions. L'apprentissage des mathématiques requiert un effort continu. Mon objectif est de vous offrir les outils nécessaires pour aborder les concours avec confiance et assurance.
Théorèmes d'Analyse
Théorème fondamental du calcul intégral
Théorème d'Intégration Par Parties
Théorème de Changement de Variable C1
Primitives usuelles à savoir retrouver
Structure de l'ensemble des solutions d'une équation différentielle d'ordre 1
Unicité de la solution à une équation différentielle d'ordre 1 avec condition initiale
Structure de l'ensemble des solutions d'une équation différentielle d'ordre 2
Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire
Densité de Q (et R\Q) dans R
Théorème de la borne supérieur
Théorème d'encadrement
Caractère bornée d'une suite convergente
Théorème de divergence par minoration / majoration
Conservation des inégalités larges par passage à la limite
Théorème de la limite monotone
Théorème de convergence des suites adjacentes
Théorème de convergence des suites extraites d'une suite convergente
Théorème de Bolzano-Weierstrass par dichotomie
Monotonie des suites récurrentes
Caractérisation séquentielle du sup et de l'inf d'un sous-ensemble borné de R.
Etude des suites récurrentes linéaires d'ordre 2
Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème de Rolle
Théorème et Inégalité des Accroissements Finis
Théorème des bornes atteintes
Caractérisation séquentielle de la continuité
Formule de Leibniz
Position du graphe d'une fonction convexe par rapport à ses sécantes
Inégalité des pentes
Inégalité de Jensen
Caractérisation de la convexité par les dérivées première et seconde
Division euclidienne
Algorithme d'Euclide
Théorème de Bézout
Théorème de Gauss
Théorème fondamental de l'arithmétique
Petit théorème de Fermat
Formule du binôme pour des éléments commutants
Caractérisation des sous-groupes
Caractérisation des sous-anneaux
Formule de Taylor pour les polynômes
Formule de Taylor-Young
Formule de Taylor avec reste intégral
Inégalité de Taylor-Lagrange
Développements limités usuels
Règles de calcul pour les équivalents
Théorème de Heine
Division euclidienne des polynômes
Théorème de d'Alembert-Gauss (démonstration optionnelle)
Décomposition en produit d'irréductibles sur C[X]
Décomposition en produit d'irréductibles sur R[X]
Théorème d'interpolation de Lagrange
Décomposition en éléments simples sur C
Décomposition en éléments simples sur R
Sommes de Riemann
Théorème fondamental du calcul intégral
Intégration par parties et changement de variables
Divergence grossière des séries numériques
Lien suite série
Critères de convergence des séries à termes positifs
Comparaison série-intégrale
Séries de Riemann et série de Bertrand (hors programme)
Critère des séries alternées
Théorème de sommation par paquets
Produit de Cauchy de deux séries
Théorèmes d'Algèbre
Propriétés des familles libres et génératrices
Caractérisation des sous-espaces vectoriels
Résultats sur les sommes de sous-espaces vectoriels
Théorèmes de la base incomplète et de la base extraite
Formule de Grassmann
Existence d'un supplémentaire en dimension finie
Caractérisation des projections et symétries
Caractérisation des applications linéaires injectives/surjectives/bijectives
Théorème du rang
Version géométrique (isomorphisme entre un supplémentaire du noyau et l'image)
Bijection entre matrice et application linéaire en dim finie
Formule de changement de base
Caractérisation des matrices équivalentes / semblables
Caractérisation du rang d'une matrice
Propriétés de la trace
Résultats sur les formes n-linéaires alternées
Résultats sur la signature d'une permutation
Définition du déterminant dans l'espace vectoriel de dimension 1 des formes n-linéaires alternées
Résultats sur le déterminant d'une matrice
Déterminant de Vandermonde
Formule de Cramer
Inégalité de Cauchy-Schwarz
Inégalité triangulaire
Théorème de Pythagore
Procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt
Distance à un sous-espace de dimension finie
Projection orthogonale
Théorèmes de Probabilités
Définition ensembliste des coefficients binomiaux
Formule du triangle de Pascal
Formule du binôme de Newton
Propriétés des probabilités
Caractérisation de l'Indépendance
Formule des probabilités composées
Formule des probabilités totales
Formule de Bayes pour n événements
Caractérisation de la loi d'une variable aléatoire comme mesure image
Lois marginales et lois jointes
Lemme des coalitions
Formule de transfert
Propriétés de l'espérance et de la variance
Théorème de König-Huygens
Inégalité de Markov
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Loi faible des grands nombres
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